1.11:
Неопределенность в измерениях: значащие цифры
Un abonnement à JoVE est nécessaire pour voir ce contenu. Connectez-vous ou commencez votre essai gratuit.
Все числа в научном измерении точны, за исключением последней цифры. Достоверность измерения зависит от двух факторов:количества цифр в измерении и точности используемого инструмента. В измеряемой величине все цифры, включая последнюю неточную цифру, называются значащими цифрами и могут быть определены с использованием определенных правил.Любые ненулевые цифры и все связанные нули, которые находятся между двумя ненулевыми цифрами, являются значащими. Например, 28 имеет две значащие цифры, 26, 25 четыре, а 208 три. Нули вначале числа никогда не являются значащими, они просто отмечают десятичный разделитель.Например, 0.00208 состоит из трех значащих цифр. Такие величины можно выразить с помощью экспоненциальной записи. Таким образом, 0, 00208 можно записать как 2, 08 10⁻³.Нули в конце имеют значение только в числах в десятичном формате. 2200 имеет два конечных нуля и две значащие цифры, тогда как 2200.0 и 2200.1 имеют по 5 значащих цифр. Для величин без десятичных знаков значение конечных нулей становится неоднозначным.Таким образом, 2200 можно записать как 2, 2 10³ с двумя значащими цифрами или 2, 20 10³ с тремя значащими цифрами. Значащие цифры помогают добиться уверенности и в математических операциях. При сложении или вычитании результат должен быть округлен, чтобы в нем было такое же количество десятичных знаков, как и в измерении с наименьшим количеством десятичных знаков.Округление в меньшую сторону следует производить, когда последняя цифра меньше 5, а округление в большую сторону когда она равна 5 или больше. Когда последняя цифра равна 5, иногда используются другие методы округления. Например, сумма 2, 052 и 1, 2 округляется до 3, 3.Однако при умножении или делении результат необходимо округлять, чтобы иметь такое же количество значащих цифр, что и в измерении с наименьшим количеством значащих цифр. Таким образом, произведение 2, 052 и 1, 2 округляется до 2, 5. Ученые часто повторяют эксперименты, чтобы добиться прецизионности своих измерений.Стандартное отклонение является статистическим выражением такой прецизионности и показывает отклонение от ожидаемого значения. При высокой прецизионности стандартное отклонение невелико, и наоборот. Например, две группы измерили толщину книги в сантиметрах.Они нашли одинаковое среднее значение 10.6 сантиметра. Однако измерения первой группы более прецизионны, следовательно, имеют меньшее стандартное отклонение. Вторая группа имеет более разрозненные измерения и более высокое стандартное отклонение.
1.11:
Неопределенность в измерениях: значащие цифры
Все цифры в измерении, включая последнюю недостоверную цифру, называются значащими разрядами или значащими (значимыми) цифрами. Обратите внимание, что нуль может быть измеренным значением; например, если весы показывают вес до ближайшего фунта, и считано значение “140,” то все цифры, 1 (сотни), 4 (десятки) и 0 (единицы) являются значащими (измеренными) значениями.
Результат измерения сообщён правильно, если его значащие цифры точно представляют достоверность процесса измерения. Ниже приведен набор правил для определения количества значащих цифр в измерении:
- Все ненулевые цифры значительны. Начиная с первой ненулевой цифры слева, подсчитайте эту цифру и все остальные цифры справа. Это количество значащих цифр в измерении. Например, 843 содержит три значащих цифры, 843.12 содержит 5 значащих цифр.
- Нули, которые находятся между двумя ненулевыми цифрами, значащие. Например, 808.101808.101 содержит два значащих нуля и всего 6 значащих цифр.
- Начальные нули — нули слева от первой ненулевой цифры. Ведущие цифры не являются значащими; они просто представляют позицию десятичной точки. Например, нули в начале 0.008081 – не значащие. Это число может быть выражено в экспоненциальной форме как 8.081 × 10−3, тогда число 8.081 содержит все значащиее цифры, а 10−3 определяет положение десятичной точки.
- Значение конечных нулей, которые являются нулями в конце числа, зависит от их положения. Трейлинговые нули перед (но после ненулевой цифры) и после десятичной точки являются значащими. Однако для чисел, не имеющих десятичных точек, трейлинговые нули могут быть и значащими, и незначащими. Эту двойственность можно устранить с помощью экспоненциальной формы записи. Например, измерение 1300 может быть записано как 1.3 × 103 (две значащие цифры), 1.30 × 103 (три значащие цифры, если место десятки было измерено), или 1.300 × 103 (четыре значащие цифры, если единицы также были измерены).
Значащие цифры при расчетах
Погрешности измерений можно избежать, сообщая результаты расчета с правильным количеством значащих цифр. Это можно определить по следующим правилам округления чисел:
- При добавлении или вычитании чисел округлите результат до того же числа десятичных разрядов, что и число с наименьшим количеством десятичных разрядов.
- При умножении или делении чисел округлить результат до того же количества цифр, что и число с наименьшим количеством значащих цифр.
- Если цифра, которую необходимо отбросить (цифра сразу же справа от цифры, которую нужно сохранить), меньше 5, “округлите в меньшую сторону” т.е., оставьте сохраненную цифру без изменений.
- Если цифра, которую необходимо отбросить (цифра, сразу же справа от цифры, которую необходимо сохранить), составляет 5 или более, “округлите в большую сторону” т.е., увеличьте сохраненную цифру на 1. Также можно использовать альтернативные методы округления, если отбрасываемая цифра равна 5. Сохраненная цифра округляется вверх или вниз, в зависимости от того, что дает четное значение.
Важно отметить, что округление значащих цифр желательно выполнить в конце многоэтапного расчета, чтобы избежать накопления ошибок на каждом этапе из-за округления. Таким образом, значащие цифры и округление способствуют правильному представлению достоверности измеренных значений, указанных в отчете.
Этот текст адаптирован из Openstax, Химия 2e, раздел 1.5: Погрешность измерений, аккуратность и точность.