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Incertezza nella misurazione: cifre significative
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Tutti i numeri in una misurazione scientifica sono certi, tranne l’ultima cifra. La certezza della misura dipende da due fattori:il numero di cifre nella misura, e la precisione dello strumento utilizzato. In una quantità misurata, tutte le cifre, inclusa l’ultima cifra incerta, sono definite cifre significative e possono essere determinate utilizzando regole specifiche.Qualsiasi cifra diversa dallo zero, e tutti gli zeri che si trovano tra due cifre diverse dallo zero, sono significative. Per esempio, 28 ha due cifre significative, mentre 26, 25 ne ha quattro e 208 ne ha tre. Gli zeri iniziali non sono mai significativi, poiché individuano solo il punto decimale.Per esempio, 0, 00208 ha tre cifre significative. Tali quantità possono essere espresse utilizzando notazioni esponenziali. Pertanto, 0, 00208 può essere scritto come 2, 08 10⁻³.Gli zeri finali sono significativi solo nei numeri formattati decimali. 2200 ha due zeri finali e due cifre significative, mentre 2200, 0 e 2200, 1 hanno entrambi 5 cifre significative. Per le quantità senza punti decimali, il significato degli zeri finali diventa ambiguo.Quindi, 2200 può essere scritto come 2, 2 10³ con due cifre significative, o 2, 20 10³ con tre cifre significative. Cifre significative aiutano a raggiungere la certezza anche nelle operazioni matematiche. Nelle operazioni di addizione o sottrazione, il risultato dovrebbe essere arrotondato per avere lo stesso numero di cifre decimali della misurazione con il minor numero di cifre decimali.L’arrotondamento per difetto dovrebbe essere eseguito quando l’ultima cifra è inferiore a 5 e l’arrotondamento per eccesso quando è 5 o superiore. Altri metodi di arrotondamento vengono talvolta utilizzati quando l’ultima cifra è 5. Per esempio, la somma di 2, 052 e 1, 2 viene arrotondata a 3, 3.Tuttavia, moltiplicando o dividendo, il risultato dovrebbe essere arrotondato per avere lo stesso numero di cifre significative della misurazione con il minor numero di cifre significative. Pertanto, il prodotto di 2, 052 e 1, 2 viene arrotondato a 2, 5. Gli scienziati spesso ripetono gli esperimenti per ottenere la precisione nelle misurazioni.La deviazione standard è l’espressione statistica di tale precisione e misura la dispersione dal valore atteso. Se la precisione è alta, la deviazione standard sarà piccola e viceversa. che porta ad una discrepanza consistente nella misurazione.Per esempio, due gruppi hanno misurato lo spessore di un libro Questi errori tendono ad essere troppo alti o troppo bassi in centimetri. Hanno trovato la stessa media:10, 6 centimetri. rispetto al valore reale.Tuttavia, le misurazioni del primo gruppo sono più precise, Per esempio, i pesi misurati utilizzando una bilancia calibrata in modo improprio, e quindi hanno una deviazione standard inferiore. Il secondo gruppo ha misurazioni più distribuite ed una deviazione sono prevedibili e per lo più correlati allo strumento. standard più elevata.nte Tuttavia, a differenza dell’errore casuale, non può essere calcolato come una media con misurazioni ripetute.
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Incertezza nella misurazione: cifre significative
Tutte le cifre di una misurazione, inclusa l’ultima cifra incerta, sono chiamate cifre significative o cifre significative. Si noti che zero può essere un valore misurato; ad esempio, se una scala che mostra il peso alla sterlina più vicina recita “140”, allora i valori 1 (centinaia), 4 (decine) e 0 (quelli) sono tutti valori significativi (misurati).
Un risultato di misurazione viene correttamente riportato quando le sue cifre significative rappresentano accuratamente la certezza del processo di misurazione. Di seguito sono riportate una serie di regole per determinare il numero di cifre significative in una misurazione:
- Tutte le cifre non azere sono significative. A partire dalla prima cifra non nulla a sinistra, contare questa cifra e tutte le cifre rimanenti a destra. Questo è il numero di cifre significative nella misurazione. Ad esempio, 843 ha tre cifre significative, 843,12 ha 5 cifre significative.
- Gli zerivincolati , che sono zeri tra due cifre diverse da zero, sono significativi. Ad esempio, 808,101 ha due zeri vincolati e 6 cifre significative.
- Gli zeri principali sono zeri a sinistra della prima cifra non zero. Le cifre principali non sono mai significative; rappresentano semplicemente la posizione della virgola decimale. Ad esempio, gli zeri principali in 0,008081 non sono significativi. Questo numero può essere espresso usando la notazione esponenziale come 8,081 × 10−3, quindi il numero 8.081 contiene tutte le cifre significative e 10−3 individua la virgola decimale.
- Il significato degli zeri finali, che sono zeri alla fine di un numero, dipende dalla loro posizione. Gli zeri finali prima (ma dopo una cifra non zero) e dopo la virgola decimale sono significativi. Tuttavia, per i numeri che non hanno punti decimali, gli zeri finali possono essere significativi o meno. Questa ambiguità può essere risolta con l’uso della notazione esponenziale. Ad esempio, la misura 1300 può essere scritta come 1,3 × 103 (due cifre significative), 1,30 × 10 3 (tre cifresignificative, se il posto delle decine è stato misurato), o 1.300 × 10 3 (quattro cifresignificative, se anche il posto delle unità è stato misurato).
Cifre significative nei calcoli
L’incertezza nelle misurazioni può essere evitata riportando i risultati del calcolo con il numero corretto di cifre significative. Questo può essere determinato dalle seguenti regole per l’arrotondamento dei numeri:
- Quando si aggiungono o si sottraggono numeri, arrotondare il risultato allo stesso numero di cifre decimali del numero con il minor numero di cifre decimali.
- Quando si moltiplicano o si dividono i numeri, arrotondare il risultato allo stesso numero di cifre del numero con il minor numero di cifre significative.
- Se la cifra da diminuzione (quella immediatamente a destra della cifra da mantenere) è minore di 5, “arrotondare per cento” e lasciare invariata la cifra trattenuta.
- Se la cifra da modificare (quella immediatamente a destra della cifra da mantenere) è 5 o superiore, “arrotondare per l’alto” e aumentare la cifra trattenuta di 1. Metodi di arrotondamento alternativi possono essere utilizzati anche se la cifra eliminata è 5. La cifra trattenuta viene arrotondata per eccesso o per difetto, a seconda di quale sia il valore pari.
Una nota importante è che l’arrotondamento di cifre significative dovrebbe preferibilmente essere effettuato al termine di un calcolo a più passaggi per evitare l’accumulo di errori in ogni fase a causa dell’arrotondamento. Pertanto, cifre significative e arrotondamento facilitano una corretta rappresentazione della certezza dei valori misurati riportati.
Questo testo è adattato da Openstax, Chemistry 2e, Section 1.5: Measurement Uncertainty, Accuracy, and Precision.