1.11:
Meetonzekerheid: Significante Cijfers
A subscription to JoVE is required to view this content. Sign in or start your free trial.
Alle cijfers in een wetenschappelijke meting zijn zeker, behalve het laatste cijfer. De meetzekerheid hangt af van twee factoren:het aantal cijfers in de meting en de precisie van het gebruikte instrument. In een gemeten grootheid worden alle cijfers, inclusief het laatste onzekere cijfer, significante cijfers genoemd en kunnen ze worden bepaald met behulp van specifieke regels.Alle niet-nul cijfers en alle plaatsopvullende nullen die tussen twee niet-nul cijfers liggen zijn significant. 28 heeft bijvoorbeeld twee significante cijfers, terwijl 26, 25 er vier heeft en 208 er drie heeft. Voorloopnullen zijn nooit significant, ze lokaliseren alleen de komma.0, 00208 heeft bijvoorbeeld drie significante cijfers. Dergelijke hoeveelheden kunnen worden uitgedrukt met behulp van exponentiële notaties. 0, 00208 kan dus worden geschreven als 2.08 10⁻³.Achterliggende nullen zijn alleen significant in decimaal opgemaakte getallen. 2200 heeft twee achterliggende nullen en twee significante cijfers, terwijl 2200, 0 en 2200, 1 beide 5 significante cijfers hebben. Voor hoeveelheden zonder komma wordt de betekenis van achterliggende nullen dubbelzinnig.Zo kan 2200 worden geschreven als 2, 2 10³ met twee significante cijfers of 2, 20 10³ met drie significante cijfers. Significante cijfers helpen ook bij het verkrijgen van zekerheid bij wiskundige bewerkingen. Bij optellen of aftrekken moet het resultaat zo worden afgerond dat het hetzelfde aantal decimalen heeft als de meting met de minste decimalen.Afronding naar beneden moet worden uitgevoerd als het laatste cijfer lager is dan 5, en naar boven moet worden afgerond als het 5 of hoger is. Andere afrondingsmethoden worden soms gebruikt als het laatste cijfer 5 is. Zo wordt de som van 2, 052 en 1, 2 afgerond op 3, 3.Bij het vermenigvuldigen of delen moet het resultaat echter worden afgerond om hetzelfde aantal significante cijfers te hebben als de meting met de minste significante cijfers. Zo wordt het product van 2, 052 en 1, 2 afgerond op 2, 5. Wetenschappers herhalen vaak experimenten om precisie in hun metingen te bereiken.Standaarddeviatie is de statistische uitdrukking van een dergelijke precisie en meet de spreiding ten opzichte van de verwachte waarde. Als de precisie hoog is, is de standaarddeviatie klein en vice versa. Twee groepen maten bijvoorbeeld de dikte van een boek in centimeters.Ze vonden hetzelfde gemiddelde 10, 6 centimeter. De metingen van de eerste groep zijn echter preciezer en hebben dus een lagere standaarddeviatie. De tweede groep heeft meer gespreide metingen en een hogere standaarddeviatie.
1.11:
Meetonzekerheid: Significante Cijfers
All the digits in a measurement, including the uncertain last digit, are called significant figures or significant digits. Note that zero may be a measured value; for example, if a scale that shows weight to the nearest pound reads “140,” then the 1 (hundreds), 4 (tens), and 0 (ones) are all significant (measured) values.
A measurement result is properly reported when its significant digits accurately represent the certainty of the measurement process. Below are a set of rules to determine the number of significant figures in a measurement:
- All nonzero digits are significant. Starting with the first nonzero digit on the left, count this digit and all remaining digits to the right. This is the number of significant figures in the measurement. For example, 843 has three significant digits, 843.12 has 5 significant digits.
- Captive zeros, which are zeros between two nonzero digits, are significant. For example, 808.101 has two captive zeros and 6 significant figures.
- Leading zeros are zeros to the left of the first nonzero digit. Leading digits are never significant; they merely represent the position of the decimal point. For example, the leading zeros in 0.008081 are not significant. This number can be expressed using exponential notation as 8.081 × 10−3, then the number 8.081 contains all the significant figures, and 10−3 locates the decimal point.
- The significance of trailing zeros, which are zeros at the end of a number, depends on their position. Trailing zeros before (but after a nonzero digit) and after the decimal point are significant. However, for numbers that do not have decimal points, trailing zeros may or may not be significant. This ambiguity can be resolved with the use of exponential notation. For example, the measurement 1300 can be written as 1.3 × 103 (two significant figures), 1.30 × 103 (three significant figures, if the tens place was measured), or 1.300 × 103 (four significant figures, if the ones place was also measured).
Significant Figures in Calculations
Uncertainty in measurements can be avoided by reporting the results of calculation with the correct number of significant figures. This can be determined by the following the rules for rounding numbers:
- When adding or subtracting numbers, round the result to the same number of decimal places as the number with the least number of decimal places.
- When multiplying or dividing numbers, round the result to the same number of digits as the number with the least number of significant figures.
- If the digit to be dropped (the one immediately to the right of the digit to be retained) is less than 5, “round down” and leave the retained digit unchanged.
- If the digit to be dropped (the one immediately to the right of the digit to be retained) is 5 or greater, “round up” and increase the retained digit by 1. Alternative rounding methods may also be used if the dropped digit is 5. The retained digit is rounded up or down, whichever yields an even value.
An important note is that rounding of significant figures should preferably be done at the end of a multistep calculation to avoid the accumulation of errors at each step due to rounding. Thus, significant figures and rounding, facilitate correct representation of the certainty of the measured values reported.
This text is adapted from Openstax, Chemistry 2e, Section 1.5: Measurement Uncertainty, Accuracy, and Precision.